TP7 : Loi normale : exercice

Une entreprise de transport a un parc total de 150 camions. On désigne par $X$ la variable aléatoire qui, à chaque camion tiré au hasard dans le parc, associe la distance qu'il a parcourue dans la journée (Les distances sont mesurées en kilomètres). On admet que cette variable aléatoire $X$ suit la loi normale de moyenne 120 et d'écart type 14.

Déterminez à $10^{-3}$ près la probabilité qu'un camion parcourt un jour donné une distance comprise entre 110 et 130 kilomètres en utilisant éventuellement une interpolation affine.

Résistance à la compression d'un ciment à 28 jours.

Dans une notice concernant les ciments Lafarge, on considère comme élevée la probabilité que la résistance à la compression à 28 jours d'un sac de ciment soit comprise entre 50 MPa et 60 MPa. On se propose de déterminer cette probabilité.

1. On note $X$ la variable aléatoire qui, à un sac de ciment prélevé au hasard dans la fabrication d'une usine, associe sa résistance à la compression à 28 jours. Un croquis sur la notice permet d'admettre que $X$ suit la loi normale de moyenne $\mu=55$ MPa et d'écart type $\sigma=3$ MPa. Déterminez à $10^{-2}$ près la probabilité $$P(50\leq X\leq 60).$$
2. La résistance minimale à la compression à 28 jours, garantie pour chaque sac par cette usine, est de 45 MPa. Quelle est la probabilité, à $10^{-4}$ près, d'avoir un sac pour lequel la résistance à la compression à 28 jours est insuffisante ?

Une machine usine des pièces. On désigne par $X$ la variable aléatoire qui, à chaque pièce prise au hasard dans la production d'une journée, associe sa longueur $x$, exprimée en millimètres. On suppose que $X$ suit la loi normale de moyenne $m=54$ et d'écart type $\sigma=0,2$.

Une pièce est considérée comme défectueuse si $x\leq 53,6$ ou $x\geq 54,3$. Tous les résultats seront arrondis à $10^{-2}$.

1. Calculez la probabilité $p$ qu'une pièce soit défectueuse.
2. Pour vérifier que la machine ne s'est pas déréglée, on détermine des cotes d'alerte $m-h$ et $m+h$ définie par $P(m-h\leq X\leq m+h)=0,95$. Calculez les cotes d'alerte.

Soit $X$ une variable aléatoire qui suit une loi normale de paramètres m et 2.

Déterminer m tel que $P(X\leq 30)=0,7$

Soit $X$ une variable aléatoire qui suit une loi normale de paramètres 23 et $\sigma$.

Déterminer $\sigma$ tel que $P(16\leq X\leq 30)=0,95$

Soit $X$ une variable aléatoire qui suit une loi normale de paramètres $10$ et $0,1$.

Déterminer $a$ dans chacun des cas suivants :

1. $P(X\geq a)=0,8$
2. $P(10-a\leq X\leq 10+a)=0,6$